当 p≥5p\ge5p≥5 时，写成 b!=p(pp−1−1)=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2)b!=p(p^{p-1}-1)=p(p-1)(1+p+\cdots+p^{p-2})b!=p(pp−1−1)=p(p−1)(1+p+⋯+pp−2)。由 Zsigmondy 定理，pp−1−1p^{p-1}-1pp−1−1 有一个原始素因数 qqq；p 模 qqq 的乘法阶为 p−1p-1p−1，故 q≡1(modp−1)q\equiv1\pmod{p-1}q≡1(modp−1)。于是 q≥2p−1>2p−2≥bq\ge2p-1>2p-2\ge bq≥2p−1>2p−2≥b 且 q≠pq\ne pq=p，这与 q∣b!q\mid b!q∣b! 矛盾。因此 p≥5p\ge5p≥5 时无解。