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第1题

求所有满足下列性质的合数 n>1n>1：设 d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k 是 nn 的所有正因数，满足 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n，则对每个 1≤i≤k−21\le i\le k-2，did_i 整除 di+1+di+2d_{i+1}+d_{i+2}。
第 1/3 步：素数幂：确定其因数
上一步下一步
通俗地说

当 n 只有一个素因子时，它的因数只是该素数递增的幂，因此链式条件就变成一个简单的整除事实。

n=pr  ⟹  di=pi−1n=p^r\implies d_i=p^{i-1}
详细分析

若 pp 为素数且 r≥2r\ge2，设 n=prn=p^r，则其各因数按顺序为 i=1,…,r+1i=1,\ldots,r+1 时的 di=pi−1d_i=p^{i-1}。所需关系 di∣di+1+di+2d_i\mid d_{i+1}+d_{i+2} 变为 pi−1∣pi+pi+1=pi(1+p)p^{i-1}\mid p^i+p^{i+1}=p^i(1+p)，因为 i−1≤ii-1\le i 而成立。因此每个素数幂都满足该性质。