国际数学奥林匹克 · 2023年

试题

第1题求所有满足下列性质的合数 $n>1$ ：设 $d_1, d_2, \ldots, d_k$ 是 $n$ 的所有正因数，满足 $1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n$ ，则对每个 $1\le i\le k-2$ ， $d_i$ 整除 $d_{i+1}+d_{i+2}$ 。解法: 1
第2题设 $ABC$ 是满足 $AB<AC$ 的锐角三角形。设 $\Omega$ 为 $ABC$ 的外接圆。设 $S$ 为 $\Omega$ 中包含 $A$ 的弧 $CB$ 的中点。从 $A$ 向 $BC$ 所作的垂线与 $BS$ 交于点 $D$ ，并再次与 $\Omega$ 交于点 $E\neq A$ 。过 $D$ 且平行于 $BC$ 的直线与直线 $BE$ 交于点 $L$ 。记三角形 $BDL$ 的外接圆为 $\omega$ 。设 $\omega$ 再次与 $\Omega$ 交于点 $P\neq B$ 。证明： $\omega$ 在点 $P$ 处的切线与直线 $BS$ 的交点落在 $\angle BAC$ 的内角平分线上。解法: 1
第3题对每个整数 $k\ge2$ ，求出所有满足下列条件的正整数无穷数列 $a_1,a_2,\ldots$ ：存在一个形如 $P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0$ 的多项式 $P$ ，其中 $c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}$ 是非负整数，使得对每个整数 $n\ge1$ 都有 $P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}$ 。解法: 1
第4题设 $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ 为两两不同的正实数，使得对每个 $n=1,2,\ldots,2023$ ， $a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)$ 都是整数。证明 $a_{2023}\ge3034$ 。解法: 1
第5题设 $n$ 为正整数。一个日本三角形由排成等边三角形状的 $1+2+\cdots+n$ 个圆圈组成，使得对每个 $i=1,2,\ldots,n$ ，第 $i$ 行恰好有 $i$ 个圆圈，其中恰好一个被染成红色。日本三角形中的忍者路径是指从最顶行出发，每次从一个圆圈走到其正下方两个圆圈之一，最终止于最底行的 $n$ 个圆圈组成的序列。用 $n$ 表示，求最大的 $k$ ，使得每个日本三角形中都存在一条至少包含 $k$ 个红色圆圈的忍者路径。解法: 1
第6题设 $ABC$ 是一个等边三角形。设 $A_1,B_1,C_1$ 是 $ABC$ 内部的点，满足 $BA_1=A_1C$ ， $CB_1=B_1A$ ， $AC_1=C_1B$ ，且 $\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$ 。设 $A_2=BC_1\cap CB_1$ ， $B_2=CA_1\cap AC_1$ ， $C_2=AB_1\cap BA_1$ 。证明：若三角形 $A_1B_1C_1$ 是不等边三角形，则三角形 $AA_1A_2$ 、 $BB_1B_2$ 和 $CC_1C_2$ 的外接圆都经过两个公共点。解法: 1