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第1题

求所有满足下列性质的合数 n>1n>1：设 d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k 是 nn 的所有正因数，满足 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n，则对每个 1≤i≤k−21\le i\le k-2，did_i 整除 di+1+di+2d_{i+1}+d_{i+2}。
第 2/3 步：第二个素因子造成一个空隙
上一步下一步
通俗地说

如果 n 有两个不同的素因子，最小的因数会沿着较小素因子的幂依次增加，直到较大的素因子出现，而通过配对 di↔n/did_i\leftrightarrow n/d_i，同样的空隙会在最大的因数之间重现。

d1=1,…,de+1=pe, de+2=qd_1=1,\ldots,d_{e+1}=p^e,\ d_{e+2}=q
详细分析

设 nn 至少有两个不同的素因子，令 p<qp<q 为其中最小的两个。设 pep^e 为整除 nn 的 pp 的最大幂，满足 pe<qp^e<q（于是 e≥1e\ge1）。没有 nn 的因数严格介于 pep^e 与 qq 之间，所以 nn 的最小因数为 1,p,…,pe,q1,p,\ldots,p^e,q。由于对所有 ii 都有 didk+1−i=nd_id_{k+1-i}=n，nn 紧邻其下的因数也呈现相同模式：dk=n, dk−1=n/p,…,dk−e=n/pe, dk−e−1=n/qd_k=n,\ d_{k-1}=n/p,\ldots,d_{k-e}=n/p^e,\ d_{k-e-1}=n/q。