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第1题

求所有满足下列性质的合数 n>1n>1：设 d1,d2,…,dkd_1, d_2, \ldots, d_k 是 nn 的所有正因数，满足 1=d1<d2<⋯<dk=n1=d_1<d_2<\cdots<d_k=n，则对每个 1≤i≤k−21\le i\le k-2，did_i 整除 di+1+di+2d_{i+1}+d_{i+2}。
第 3/3 步：链式条件迫使出现一个不可能的比值
上一步下一步
通俗地说

将对称的因数代入所需的整除条件后，整个问题就变成检验某个特定分数是否为整数，而它永远不是整数。

q(p+1)pe∈Z\dfrac{q(p+1)}{p^e}\in\mathbb{Z}
详细分析

在指标 i=k−e−1i=k-e-1 处应用该性质：dk−e−1∣dk−e+dk−e+1d_{k-e-1}\mid d_{k-e}+d_{k-e+1} 意味着 nq∣npe+npe−1=n(p+1)pe\frac nq \mid \frac n{p^e}+\frac n{p^{e-1}}=\frac{n(p+1)}{p^e}。将两边同除以 n/pen/p^e（该整除关系等价于所得比值为整数）可知 q(p+1)pe\frac{q(p+1)}{p^e} 必须是整数。但 gcd⁡(p,q)=1\gcd(p,q)=1 且 gcd⁡(p,p+1)=1\gcd(p,p+1)=1，所以一旦 e≥1e\ge1，pep^e 就不能整除 q(p+1)q(p+1)——矛盾。因此 nn 只有一个素因子，结合步骤一可知满足该性质的合数恰好是素数幂 n=pr, r≥2n=p^r,\ r\ge2。