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第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 1/6 步：在角平分线上命名目标点
上一步下一步
通俗地说

弧中点 S 的对径点正是位于从 A 出发的内角平分线上的经典弧中点，因此将它与直线 BS 相交，恰好就是切线必须经过的目标点。

H=BS∩AS′,S′=antipode of SH=BS\cap AS',\qquad S'=\text{antipode of }S
详细分析

由于 SS 是含 AA 的弧 CBCB 的中点，它关于 Ω\Omega 的对径点 S′S' 是不含 AA 的弧 BCBC 的中点，也就是 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线与 Ω\Omega 相交的经典点。设 H=BS∩AS′H=BS\cap AS'。要证明的结论现在归结为证明 HH 落在 ω\omega 在点 PP 处的切线上，因为 HH 本来就同时落在 BSBS 和角平分线 AS′AS' 上。