MathLabs

第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 2/6 步：相似三角形给出 H 处的长度恒等式
上一步下一步
通俗地说

利用两条垂直于 BC 的直线（即 AE 与 SS'）进行简短的角度追踪，可知三角形 AHD 与 BAH 相似，从而把目标长度转化为两条已知线段的乘积。

AH2=BH⋅HDAH^2=BH\cdot HD
详细分析

因为 S,O,S′S,O,S' 共线（OO 为外心），且 SS 是弧的中点，所以 SS′⊥BCSS'\perp BC；又由假设 AE⊥BCAE\perp BC，故 AE∥SS′AE\parallel SS'。这两条平行弦所截出的弧相等，给出 ∠EAS′=∠ABS\angle EAS'=\angle ABS。记 φ=∠ABS\varphi=\angle ABS，于是 ∠DAH=φ=∠ABH\angle DAH=\varphi=\angle ABH，故三角形 AHDAHD 与 BAHBAH 在 HH 处有公共角且满足 ∠DAH=∠ABH\angle DAH=\angle ABH，因此 △AHD∼△BAH\triangle AHD\sim\triangle BAH。由此 AHBH=DHAH\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{DH}{AH}，即 AH2=BH⋅HDAH^2=BH\cdot HD。由于 B,D∈ωB,D\in\omega 且 HH 在直线 BD (=BS)BD\,(=BS) 上，等式右边恰好是 HH 关于 ω\omega 的幂。