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第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 3/6 步：第二个解题圆中出现一条直径
上一步下一步
通俗地说

围绕这两个圆进行角度追踪表明，线段 EF（F 是直线 PD 与 Omega 的第二个交点）平行于 BC，而由于 AE 已经垂直于 BC，这就迫使 AF 必须是直径。

AF is a diameter of Ω,F=PD∩ΩAF\text{ is a diameter of }\Omega,\quad F=PD\cap\Omega
详细分析

设 F≠AF\ne A 为直线 PDPD 与 Ω\Omega 的第二个交点。利用 ω\omega 与 Ω\Omega，得 ∠CBE=∠DLE=∠DPB=∠FCB\angle CBE=\angle DLE=\angle DPB=\angle FCB，故 EF∥BCEF\parallel BC。由 AE⊥BCAE\perp BC 知 AE⊥EFAE\perp EF，于是 ∠AEF=90∘\angle AEF=90^\circ 内接于 Ω\Omega 并对着一条直径：AFAF 是 Ω\Omega 的直径。