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第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 4/6 步：沿同一条截线匹配两个比值
上一步下一步
通俗地说

把外心出发的中位线段与沿两条垂直于 BC 的直线上的线段 AD 相比较，可得相等的比值，这恰好就是 OH 平行于弦 PD 的条件。

OH∥DQ,Q=PD∩SS′OH\parallel DQ,\qquad Q=PD\cap SS'
详细分析

设 Q=PD∩SS′Q=PD\cap SS'，并设 OO 为 Ω\Omega 的圆心。因为 OO 是第 3 步中所得直径 AFAF 的中点，而 QQ 在弦 PFPF 上，沿着平行线 SS′∥AESS'\parallel AE 的相似三角形论证给出 OQ=12ADOQ=\tfrac12AD。将其与 SO=12SS′SO=\tfrac12SS' 结合，得到 SOOQ=SS′AD=SHHD\dfrac{SO}{OQ}=\dfrac{SS'}{AD}=\dfrac{SH}{HD}（最后一个等式来自第 2 步中沿截线 BSBS 的相似三角形）。这一沿截线 S,O,HS,O,H 与 S,Q,DS,Q,D 的比例关系迫使 OH∥DQOH\parallel DQ，即 OH∥PDOH\parallel PD。