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第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 5/6 步：结合直径与平行线
上一步下一步
通俗地说

直径总是以直角看向圆上任意一点，所以 FP 垂直于 AP；一旦 OH 平行于 FP，它也必须垂直于 AP，这就把 H 放在 AP 的垂直平分线上。

HP=HAHP=HA
详细分析

因为 AFAF 是 Ω\Omega 的直径（第 3 步），所以 ∠APF=90∘\angle APF=90^\circ，即 FP⊥APFP\perp AP。由 OH∥PD=PFOH\parallel PD=PF（第 4 步）可得 OH⊥APOH\perp AP。由于 OO 已经与 AA 和 PP 等距（两者都在 Ω\Omega 上），过 OO 且垂直于 APAP 的直线恰好就是 APAP 的垂直平分线，而 HH 也在这条直线上，所以 HP=HAHP=HA。