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第2题

设 ABCABC 是满足 AB<ACAB<AC 的锐角三角形。设 Ω\Omega 为 ABCABC 的外接圆。设 SS 为 Ω\Omega 中包含 AA 的弧 CBCB 的中点。从 AA 向 BCBC 所作的垂线与 BSBS 交于点 DD，并再次与 Ω\Omega 交于点 E≠AE\neq A。过 DD 且平行于 BCBC 的直线与直线 BEBE 交于点 LL。记三角形 BDLBDL 的外接圆为 ω\omega。设 ω\omega 再次与 Ω\Omega 交于点 P≠BP\neq B。证明：ω\omega 在点 PP 处的切线与直线 BSBS 的交点落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线上。
第 6/6 步：得出相切的结论
上一步下一步
通俗地说

一旦 HP 等于 HA，它的平方就与之前算出的 H 关于 omega 的幂相符，而从一个外部点出发、其平方等于该点关于某圆的幂、且该圆经过其较远端点的线段，必定在那里与该圆相切。

HP2=pow⁡(H,ω)  ⟹  HP tangent to ω at PHP^2=\operatorname{pow}(H,\omega)\implies HP\text{ tangent to }\omega\text{ at }P
详细分析

由第 5 步和第 2 步，HP2=HA2=BH⋅HD=pow⁡(H,ω)HP^2=HA^2=BH\cdot HD=\operatorname{pow}(H,\omega)。因为 P∈ωP\in\omega，这恰好是直线 HPHP 在点 PP 处与 ω\omega 相切的条件（幂定理的逆命题）。因此 ω\omega 在点 PP 处的切线经过 HH，而它落在直线 BSBS 上，且落在 ∠BAC\angle BAC 的内角平分线 AS′AS' 上，证明完成。