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第3题

对每个整数 k≥2k\ge2，求出所有满足下列条件的正整数无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots：存在一个形如 P(x)=xk+ck−1xk−1+⋯+c1x+c0P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0 的多项式 PP，其中 c0,c1,…,ck−1c_0,c_1,\ldots,c_{k-1} 是非负整数，使得对每个整数 n≥1n\ge1 都有 P(an)=an+1an+2⋯an+kP(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}。
第 1/6 步：等差数列满足条件
上一步下一步
通俗地说

如果各项以固定步长 d 递增，那么紧跟在 a_n 之后的 k 项就是 a_n 分别加上 d 的前 k 个倍数，因此它们的乘积就是在 a_n 处求值的一个固定多项式。

an=a1+(n−1)d  ⟹  P(x)=∏j=1k(x+jd)a_n=a_1+(n-1)d\implies P(x)=\prod_{j=1}^k(x+jd)
详细分析

若对某个整数 d≥0d\ge0 有 an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d，则 an+1an+2⋯an+k=(an+d)(an+2d)⋯(an+kd)a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}=(a_n+d)(a_n+2d)\cdots(a_n+kd)，因此 P(x)=(x+d)(x+2d)⋯(x+kd)P(x)=(x+d)(x+2d)\cdots(x+kd) 满足条件，且由于 d≥0d\ge0，除首项系数外的其余系数都是非负的。