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第3题

对每个整数 k≥2k\ge2，求出所有满足下列条件的正整数无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots：存在一个形如 P(x)=xk+ck−1xk−1+⋯+c1x+c0P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0 的多项式 PP，其中 c0,c1,…,ck−1c_0,c_1,\ldots,c_{k-1} 是非负整数，使得对每个整数 n≥1n\ge1 都有 P(an)=an+1an+2⋯an+kP(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}。
第 2/6 步：一个逐项相消的恒等式
上一步下一步
通俗地说

对两个相邻的下标写出定义关系式并相除，会消去乘积中的大部分因子，留下 ana_n 与 an+ka_{n+k} 之间的一个简洁关系。

P(an)P(an−1)=an+kan\dfrac{P(a_n)}{P(a_{n-1})}=\dfrac{a_{n+k}}{a_n}
详细分析

该关系式给出 P(an−1)=anan+1⋯an+k−1P(a_{n-1})=a_na_{n+1}\cdots a_{n+k-1} 和 P(an)=an+1an+2⋯an+kP(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}。两式相除，所有公共因子 an+1,…,an+k−1a_{n+1},\ldots,a_{n+k-1} 都被消去，剩下 P(an)/P(an−1)=an+k/anP(a_n)/P(a_{n-1})=a_{n+k}/a_n。