第3题

对每个整数

k\ge2

，求出所有满足下列条件的正整数无穷数列

a_1,a_2,\ldots

：存在一个形如

P(x)=x^k+c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_1x+c_0

的多项式

P

，其中

c_0,c_1,\ldots,c_{k-1}

是非负整数，使得对每个整数

n\ge1

都有

P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}

。

第 6/6 步：整个数列都是等差数列

上一步下一步

通俗地说

一旦 P 被确定为这个特定的乘积，它所迫使的增量元组就是唯一的，于是数列最终必须永远重复同一个增量，再用反向归纳法说明它其实从一开始就是等差数列。

a_n=a_1+(n-1)d\ \text{for all } n

详细分析

可能出现的元组只有有限多个；对每个元组 $e$ 令 $Q_e(X)=\prod_{j=1}^k(X+e_1+\cdots+e_j)$ 。第 5 步中的元组满足 $Q_e=P$ 。任何其他元组都只能出现有限次：否则，在这些下标处互不相同的 $a_n$ 将成为非零多项式 $Q_e-P$ 的无穷多个根。因此，对所有充分大的 $n$ ，都有 $\delta(n)=(d_1,\ldots,d_k)$ 。对 $\delta(n+1)$ 也应用此结论，得到 $(d_2,\ldots,d_k,a_{n+k+1}-a_{n+k})=(d_1,\ldots,d_k)$ ，故 $d_1=\cdots=d_k=:d$ ，数列的尾部是公差为 $d$ 的等差数列。于是 $P(X)=F(X):=\prod_{j=1}^k(X+jd)$ 。为向前反向延拓，假设 $a_{n+1},\ldots,a_{n+k}$ 已构成公差为 $d$ 的等差数列。则 $F(a_n)=P(a_n)=\prod_{j=1}^k(a_{n+1}+(j-1)d)=F(a_{n+1}-d)$ 。函数 $F(t)$ 在 $t>-d$ 上严格递增，而两个自变量都属于该区间，所以 $a_n=a_{n+1}-d$ 。向下归纳至 $n=1$ ，即得对所有 $n$ 有 $a_n=a_1+(n-1)d$ 。