把定义 an+2a_{n+2}an+2 的和拆分成前 n 项加上两个新项，并对三对对应量应用柯西-施瓦茨不等式，就得到一个由 ana_nan 和两个新变量之比构成的下界。
记 A=x1+⋯+xnA=x_1+\cdots+x_nA=x1+⋯+xn 且 B=1x1+⋯+1xnB=\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}B=x11+⋯+xn1，则 an=ABa_n=ABan=AB。由三项柯西-施瓦茨不等式，an+2=(A+xn+1+xn+2)(B+1xn+1+1xn+2)≥AB+xn+1xn+2+xn+2xn+1=an+u+1u\sqrt{a_{n+2}}=\sqrt{(A+x_{n+1}+x_{n+2})\left(B+\frac1{x_{n+1}}+\frac1{x_{n+2}}\right)}\ge\sqrt{AB}+\sqrt{\frac{x_{n+1}}{x_{n+2}}}+\sqrt{\frac{x_{n+2}}{x_{n+1}}}=\sqrt{a_n}+u+\frac1uan+2=(A+xn+1+xn+2)(B+xn+11+xn+21)≥AB+xn+2xn+1+xn+1xn+2=an+u+u1，其中 u=xn+1/xn+2u=\sqrt{x_{n+1}/x_{n+2}}u=xn+1/xn+2。两边平方得到 an+2≥(an+u+1/u)2≥an+u+1/ua_{n+2}\ge(\sqrt{a_n}+u+1/u)^2\ge a_n+u+1/uan+2≥(an+u+1/u)2≥an+u+1/u。