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第4题

设 x1,x2,…,x2023x_1,x_2,\ldots,x_{2023} 为两两不同的正实数，使得对每个 n=1,2,…,2023n=1,2,\ldots,2023，an=(x1+x2+⋯+xn)(1x1+1x2+⋯+1xn)a_n=(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right) 都是整数。证明 a2023≥3034a_{2023}\ge3034。
第 3/3 步：严格AM-GM迫使跳跃至少为3
上一步下一步
通俗地说

由于所选的两个数总是不同，比值 u 永远不等于1，所以第2步的下界严格大于 a_n+2；再加上整数性，这就升级为每两步至少真正增加3。

a2m+1≥3m+1  ⟹  a2023≥3034a_{2m+1}\ge3m+1\implies a_{2023}\ge3034
详细分析

由于 xn+1≠xn+2x_{n+1}\ne x_{n+2}，故 u≠1u\ne1，因此由 AM-GM 严格不等式 u+1u>2u+\frac1u>2 成立，结合第2步得到 an+2>an+2a_{n+2}>a_n+2。由于 an,an+2a_n,a_{n+2} 都是整数，an+2−ana_{n+2}-a_n 是大于 22 的整数，因此 an+2≥an+3a_{n+2}\ge a_n+3。结合第1步中的 a1=1a_1=1，对 mm 归纳可得对每个 m≥0m\ge0 都有 a2m+1≥3m+1a_{2m+1}\ge3m+1。取 m=1011m=1011（此时 2m+1=20232m+1=2023），得到 a2023≥3⋅1011+1=3034a_{2023}\ge3\cdot1011+1=3034。