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第6题

设 ABCABC 是一个等边三角形。设 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 是 ABCABC 内部的点，满足 BA1=A1CBA_1=A_1C，CB1=B1ACB_1=B_1A，AC1=C1BAC_1=C_1B，且 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ。设 A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1，B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1，C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1。证明：若三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 是不等边三角形，则三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2 和 CC1C2CC_1C_2 的外接圆都经过两个公共点。
第 1/6 步：把480度条件转化为简洁的角之和
上一步下一步
通俗地说

由于 A1、B1、C1 分别位于各边上所构造等腰三角形的顶点，所给的三个角每一个都等于180度减去两倍的底角，因此单一的480度条件就化简为仅三个小角之和。

α+β+γ=30∘,α=∠A1CB=∠CBA1, β=∠ACB1=∠B1AC, γ=∠C1AB=∠C1BA\alpha+\beta+\gamma=30^\circ,\quad \alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1,\ \beta=\angle ACB_1=\angle B_1AC,\ \gamma=\angle C_1AB=\angle C_1BA
详细分析

由于 BA1=A1CBA_1=A_1C，三角形 BA1CBA_1C 是等腰三角形，所以 ∠BA1C=180∘−2α\angle BA_1C=180^\circ-2\alpha，其中 α=∠A1CB=∠CBA1\alpha=\angle A_1CB=\angle CBA_1；类似地，∠CB1A=180∘−2β\angle CB_1A=180^\circ-2\beta 且 ∠AC1B=180∘−2γ\angle AC_1B=180^\circ-2\gamma，其中 β,γ\beta,\gamma 按相同方式定义。假设 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ 变为 540∘−2(α+β+γ)=480∘540^\circ-2(\alpha+\beta+\gamma)=480^\circ，即 α+β+γ=30∘\alpha+\beta+\gamma=30^\circ。