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第6题

设 ABCABC 是一个等边三角形。设 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 是 ABCABC 内部的点，满足 BA1=A1CBA_1=A_1C，CB1=B1ACB_1=B_1A，AC1=C1BAC_1=C_1B，且 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ。设 A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1，B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1，C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1。证明：若三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 是不等边三角形，则三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2 和 CC1C2CC_1C_2 的外接圆都经过两个公共点。
第 2/6 步：每个内部点都是一个外心
上一步下一步
通俗地说

追踪由两条塞瓦线 BC1 和 CB1 在 A2 处所成的角，可以看出它对 BC 所张的角恰好是 A1 处等腰角的一半，而由于 A1 已经与 B、C 等距，这就确定了 A1 就是外心。

∠BA2C=60∘+β+γ=90∘−α=12∠BA1C\angle BA_2C=60^\circ+\beta+\gamma=90^\circ-\alpha=\tfrac12\angle BA_1C
详细分析

由 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ 可得 ∠CBC1=60∘−γ\angle CBC_1=60^\circ-\gamma 及 ∠B1CB=60∘−β\angle B_1CB=60^\circ-\beta，于是在三角形 BA2CBA_2C 中，∠BA2C=180∘−∠CBC1−∠B1CB=60∘+β+γ\angle BA_2C=180^\circ-\angle CBC_1-\angle B_1CB=60^\circ+\beta+\gamma；利用 α+β+γ=30∘\alpha+\beta+\gamma=30^\circ，此式等于 90∘−α90^\circ-\alpha。另一方面 ∠BA1C=180∘−2α=2(90∘−α)=2∠BA2C\angle BA_1C=180^\circ-2\alpha=2(90^\circ-\alpha)=2\angle BA_2C。由于 A1A_1 已经（因 BA1=A1CBA_1=A_1C）与 BB 和 CC 等距，且位于 △A2BC\triangle A_2BC 内正确的一侧，这个二倍关系恰好是 A1A_1 成为 △A2BC\triangle A_2BC 外心的条件；由对称性论证可知 B1,C1B_1,C_1 分别是 △B2CA,△C2AB\triangle B_2CA,\triangle C_2AB 的外心。