第6题

使用模 $180^\circ$ 的有向角。第 2 步的外心结论给出 $B_1A=B_1C=B_1B_2$ 及 $C_1A=C_1B=C_1C_2$。因此 $A,C,B_2$ 位于以 $B_1$ 为圆心的圆上，而 $A,B,C_2$ 位于以 $C_1$ 为圆心的圆上。由于 $C_2$ 在 $AB_1$ 上且 $B_2$ 在 $AC_1$ 上，有 $\measuredangle B_2B_1C_2=180^\circ-\measuredangle AB_1B_2=180^\circ-2\measuredangle ACB_2=180^\circ-2(60^\circ-\alpha)=60^\circ+2\alpha$。同理，$\measuredangle B_2C_1C_2=180^\circ-\measuredangle AC_1C_2=180^\circ-2\measuredangle ABC_2=180^\circ-2(60^\circ-\alpha)=60^\circ+2\alpha$。故 $B_2,C_1,B_1,C_2$ 共圆；记此圆为 $\omega_a$。循环定义 $\omega_b=(C_2A_1C_1A_2)$ 和 $\omega_c=(A_2B_1A_1B_2)$。同样的角度计算证明这些共圆关系，而不是只凭图形判断。最后，$A_2,C_1,B_2,A_1,C_2,B_1$ 按此顺序组成严格凸六边形：因为 $0<\alpha,\beta,\gamma<30^\circ$，每个 $A_i$ 都位于相应两条截线上的两个相邻点之外。若三个辅助圆不两两不同，则六个顶点共圆；但凸内接六边形应满足 $360^\circ=\angle C_2A_1B_2+\angle B_2C_1A_2+\angle A_2B_1C_2=\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ$，矛盾。因此三个辅助圆两两不同。