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第6题

设 ABCABC 是一个等边三角形。设 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 是 ABCABC 内部的点，满足 BA1=A1CBA_1=A_1C，CB1=B1ACB_1=B_1A，AC1=C1BAC_1=C_1B，且 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ。设 A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1，B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1，C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1。证明：若三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 是不等边三角形，则三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2 和 CC1C2CC_1C_2 的外接圆都经过两个公共点。
第 5/6 步：三个比值相乘等于一
上一步下一步
通俗地说

每个比值都是由同样的三个量——30加alpha、30加beta、30加gamma——按循环方式分配到三个顶点后，用正弦定理计算得到的，因此把三个比值相乘时，所有因子都会逐级抵消。

kakbkc=1k_ak_bk_c=1
详细分析

第 4 步的正弦定理公式给出 ka=AXAY=AB1AC1sin⁡(30∘+β)sin⁡(30∘+γ)k_a=\dfrac{AX}{AY}=\dfrac{AB_1}{AC_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\beta)}{\sin(30^\circ+\gamma)}。循环地，kb=BC1BA1sin⁡(30∘+γ)sin⁡(30∘+α)k_b=\dfrac{BC_1}{BA_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\gamma)}{\sin(30^\circ+\alpha)}，且 kc=CA1CB1sin⁡(30∘+α)sin⁡(30∘+β)k_c=\dfrac{CA_1}{CB_1}\dfrac{\sin(30^\circ+\alpha)}{\sin(30^\circ+\beta)}。由题设有 BA1=CA1BA_1=CA_1、CB1=AB1CB_1=AB_1 及 AC1=BC1AC_1=BC_1。将三个显示的式子相乘，所有正弦因子和长度因子都相消，从而得到 kakbkc=1k_ak_bk_c=1。