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第6题

设 ABCABC 是一个等边三角形。设 A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 是 ABCABC 内部的点，满足 BA1=A1CBA_1=A_1C，CB1=B1ACB_1=B_1A，AC1=C1BAC_1=C_1B，且 ∠BA1C+∠CB1A+∠AC1B=480∘\angle BA_1C+\angle CB_1A+\angle AC_1B=480^\circ。设 A2=BC1∩CB1A_2=BC_1\cap CB_1，B2=CA1∩AC1B_2=CA_1\cap AC_1，C2=AB1∩BA1C_2=AB_1\cap BA_1。证明：若三角形 A1B1C1A_1B_1C_1 是不等边三角形，则三角形 AA1A2AA_1A_2、BB1B2BB_1B_2 和 CC1C2CC_1C_2 的外接圆都经过两个公共点。
第 6/6 步：一个关系式迫使三个圆都相交于两点
上一步下一步
通俗地说

一旦三个定义比值的方程相乘得到恒等式，满足其中任意两个方程的点就会自动满足第三个，因此任意一对圆的两个真实交点也必定落在剩下的那个圆上。

Ca∩Cb⊂Cc\mathcal C_a\cap\mathcal C_b\subset\mathcal C_c
详细分析

根据第 4 步，Ca,Cb,Cc\mathcal C_a,\mathcal C_b,\mathcal C_c 分别是满足 Pow⁡(P,ωb)=kaPow⁡(P,ωc)\operatorname{Pow}(P,\omega_b)=k_a\operatorname{Pow}(P,\omega_c)、Pow⁡(P,ωc)=kbPow⁡(P,ωa)\operatorname{Pow}(P,\omega_c)=k_b\operatorname{Pow}(P,\omega_a) 及 Pow⁡(P,ωa)=kcPow⁡(P,ωb)\operatorname{Pow}(P,\omega_a)=k_c\operatorname{Pow}(P,\omega_b) 的点的轨迹。若一点同时在 Ca\mathcal C_a 和 Cb\mathcal C_b 上，将前两个等式相乘并使用 kakbkc=1k_ak_bk_c=1，便得到第三个等式，所以 Ca∩Cb⊆Cc\mathcal C_a\cap\mathcal C_b\subseteq\mathcal C_c；其余各对同理。还需证明交点确实为两个不同的实点。使用标准的交叉弦判据：在严格凸的构型中，若两条标记弦的端点交错出现，且相应两圆的弧分别位于每条弦的两侧，则两圆相交于两个不同的实点；等号对应相切，不相交则两弧会在同一侧。对于 Ca=(AA1A2)\mathcal C_a=(AA_1A_2) 和 Cb=(BB1B2)\mathcal C_b=(BB_1B_2)，在凸六边形 A2,C1,B2,A1,C2,B1A_2,C_1,B_2,A_1,C_2,B_1 中，弦 A2A1A_2A_1 与 B2B1B_2B_1 的端点交错。0<α,β,γ<30∘0<\alpha,\beta,\gamma<30^\circ 使 AA 和 BB 位于这两条弦所确定的相对两侧，而不等边条件排除了等号（相切）情形。因此 Ca\mathcal C_a 与 Cb\mathcal C_b 有两个不同的实交点 U,VU,V。由前面的包含关系，U,VU,V 也都在 Cc\mathcal C_c 上，于是三条外接圆经过同样的两个点。