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第1题

求所有实数 α\alpha，使得对每个正整数 nn，整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor 都能被 nn 整除。
第 1/4 步：整数情形：偶数成立，奇数失败
上一步下一步
通俗地说

当alpha为整数时，所有取整符号都消失，和式变成一个简单的闭式表达，当且仅当alpha为偶数时，它对每个n都能被整除。

S(n,α)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2
详细分析

若 α\alpha 是整数，则 S(n,α):=⌊α⌋+⋯+⌊nα⌋=α(1+2+⋯+n)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha):=\lfloor\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor=\alpha(1+2+\cdots+n)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2。要求对所有 nn 都有 n∣S(n,α)n\mid S(n,\alpha)，即对所有 nn 都有 α(n+1)2∈Z\dfrac{\alpha(n+1)}2\in\mathbb Z；这对每个 nn 成立当且仅当 α\alpha 为偶数。若 α\alpha 为奇整数，则 n=2n=2 时 S(2,α)=3αS(2,\alpha)=3\alpha，它是奇数且不能被 22 整除，所以奇整数情形失败。