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第1题

求所有实数 α\alpha，使得对每个正整数 nn，整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor 都能被 nn 整除。
第 2/4 步：将非整数平移到一个短区间内
上一步下一步
通俗地说

把alpha替换为alpha减去2会使整个和改变一个n(n+1)的倍数，而这总是n的倍数，因此将alpha平移一个偶数不会影响整除性。

S(n,α−2)−S(n,α)=−n(n+1)≡0(modn)S(n,\alpha-2)-S(n,\alpha)=-n(n+1)\equiv0\pmod n
详细分析

假设 α\alpha 不是整数。将 α\alpha 替换为 α−2\alpha-2 会使每个取整值恰好改变其下标的 22 倍，所以对每个 nn 都有 S(n,α−2)−S(n,α)=−2(1+2+⋯+n)=−n(n+1)≡0(modn)S(n,\alpha-2)-S(n,\alpha)=-2(1+2+\cdots+n)=-n(n+1)\equiv0\pmod n；因此将 α\alpha 平移任意偶数都不改变整除性。于是可以假设 −1<α<1-1<\alpha<1（且 α≠0\alpha\ne0，因为 α=0\alpha=0 是已经在步骤1中处理过的偶数）。