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第1题

求所有实数 α\alpha，使得对每个正整数 nn，整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor 都能被 nn 整除。
第 3/4 步：情形 0 < alpha < 1 失败
上一步下一步
通俗地说

对于较小的正alpha，在alpha的累计和最终超过1之前，每个取整值都为0，因此总和恰好一次等于1，不可能被任何不小于2的m整除。

0<α<1  ⟹  S(m,α)=10<\alpha<1\implies S(m,\alpha)=1
详细分析

若 0<α<10<\alpha<1，设 m≥2m\ge2 为满足 mα≥1m\alpha\ge1 的最小整数；则对 i=1,…,m−1i=1,\ldots,m-1 有 ⌊iα⌋=0\lfloor i\alpha\rfloor=0，且 ⌊mα⌋=1\lfloor m\alpha\rfloor=1（因为 α<1\alpha<1 迫使 mα<mm\alpha<m，而由最小性实际上 mα<2m\alpha<2，故取整值恰为 11），从而 S(m,α)=1S(m,\alpha)=1，它不能被 m≥2m\ge2 整除。这与所要求的性质矛盾。