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第1题

求所有实数 α\alpha，使得对每个正整数 nn，整数 ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor 都能被 nn 整除。
第 4/4 步：情形 -1 < alpha < 0 失败，从而得出alpha是偶数
上一步下一步
通俗地说

对于较小的负alpha，在累计和最终降到-1以下之前，每个取整值都等于-1，此时它变为-2，从而得到的总和比m的倍数小1，因此永远不能被m整除。

−1<α<0  ⟹  S(m,α)=−(m+1)-1<\alpha<0\implies S(m,\alpha)=-(m+1)
详细分析

若 −1<α<0-1<\alpha<0，设 m≥2m\ge2 为满足 mα≤−1m\alpha\le-1 的最小整数；则对 i=1,…,m−1i=1,\ldots,m-1 有 ⌊iα⌋=−1\lfloor i\alpha\rfloor=-1，且（由最小性 mα>−2m\alpha>-2）⌊mα⌋=−2\lfloor m\alpha\rfloor=-2，从而 S(m,α)=−(m−1)−2=−(m+1)S(m,\alpha)=-(m-1)-2=-(m+1)，因为 gcd⁡(m,m+1)=1\gcd(m,m+1)=1 且 m≥2m\ge2，所以它不能被 mm 整除。非整数 α\alpha 的两种情形都导致矛盾，结合步骤1，α\alpha 必须是偶数。