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第4题

设三角形 ABCABC 的内心为 II，满足 AB<AC<BCAB<AC<BC。设 XX 是直线 BCBC 上一点（不同于 CC），使得过 XX 且平行于 ACAC 的直线与内切圆相切。类似地，设 YY 是直线 BCBC 上一点（不同于 BB），使得过 YY 且平行于 ABAB 的直线与内切圆相切。直线 AIAI 再次与三角形 ABCABC 的外接圆交于点 PP。设 KK、LL 分别为 ACAC、ABAB 的中点。求证 ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ。
第 1/4 步：位似变换将K、I、L变为C、T、B
上一步下一步
通俗地说

以A为中心、比例为2的位似变换将一条线段的中点送到其远端点，因此它把L变为B，K变为C，把I（A与其反射点T的中点）变为T本身，从而将角KIL直接变为角BTC。

∠KIL=∠BTC,T=2I−A\angle KIL=\angle BTC,\qquad T=2I-A
详细分析

设 TT 为 AA 关于 II 的对称点，即 T=2I−AT=2I-A。以 AA 为中心、比例为 22 的位似变换将 LL（ABAB 的中点）变为 BB，将 KK（ACAC 的中点）变为 CC，并将 II变为 2I−A=T2I-A=T。由于位似变换保持角度，∠KIL=∠CTB=∠BTC\angle KIL=\angle CTB=\angle BTC。