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第4题

设三角形 ABCABC 的内心为 II，满足 AB<AC<BCAB<AC<BC。设 XX 是直线 BCBC 上一点（不同于 CC），使得过 XX 且平行于 ACAC 的直线与内切圆相切。类似地，设 YY 是直线 BCBC 上一点（不同于 BB），使得过 YY 且平行于 ABAB 的直线与内切圆相切。直线 AIAI 再次与三角形 ABCABC 的外接圆交于点 PP。设 KK、LL 分别为 ACAC、ABAB 的中点。求证 ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ。
第 2/4 步：菱形对称性产生两条新的切线
上一步下一步
通俗地说

以内心为中心的点反射将内切圆映射到自身，并将三角形的每条边映射为与该边平行的另一条切线；由于它将A映射为T，那条另外的切线必须经过T。

TX∥AC, TY∥AB are tangent to the incircleTX\parallel AC,\ TY\parallel AB\ \text{are tangent to the incircle}
详细分析

关于 II 的点反射保持内切圆，并将切线 ACAC 映为经过 TT 且与其平行的另一条切线；按 XX 的定义，这就是 TXTX。同理，TYTY 是切线且 TY∥ABTY\parallel AB。我们还需要确定 BCBC 上的次序，而不只是共线。令 a=BCa=BC、b=CAb=CA、c=ABc=AB、s=(a+b+c)/2s=(a+b+c)/2，取坐标 B=(0,0)B=(0,0)、C=(a,0)C=(a,0)、A=(u,v)A=(u,v)。内心为 I=(aA+bB+cC)/(2s)I=(aA+bB+cC)/(2s)，且 T=2I−AT=2I-A。将直线 T+λ(C−A)T+\lambda(C-A) 与 T+μ(B−A)T+\mu(B-A) 分别和 BCBC 求交，得到 BX=a(s−b)sBX=\frac{a(s-b)}s 与 BY=acsBY=\frac{ac}s。因为 0<s−b<c<s0<s-b<c<s，故 0<BX<BY<a0<BX<BY<a，所以 B,X,Y,CB,X,Y,C 按此顺序排列。这也确定了每一对平行切线中所取的那一条，并固定下面所有射线的方向。