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第4题

设三角形 ABCABC 的内心为 II，满足 AB<AC<BCAB<AC<BC。设 XX 是直线 BCBC 上一点（不同于 CC），使得过 XX 且平行于 ACAC 的直线与内切圆相切。类似地，设 YY 是直线 BCBC 上一点（不同于 BB），使得过 YY 且平行于 ABAB 的直线与内切圆相切。直线 AIAI 再次与三角形 ABCABC 的外接圆交于点 PP。设 KK、LL 分别为 ACAC、ABAB 的中点。求证 ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ。
第 3/4 步：T在直线AP上，产生两个圆内接四边形
上一步下一步
通俗地说

由于T是A关于I的反射点，它自动位于产生外接圆上点P的同一条直线AI上，因此从P指向A的任何角实际上也悄悄地是从P指向T的角；结合平行线TY，这可以推出一个简洁的圆内接四边形。

A,I,T,P collinear;∠TYC=∠ABC=∠APC=∠TPCA,I,T,P\ \text{collinear};\qquad \angle TYC=\angle ABC=\angle APC=\angle TPC
详细分析

由于 T=2I−AT=2I-A 在直线 AIAI 上，且 PP 按定义是直线 AIAI 与外接圆的第二个交点，四点 A,I,T,PA,I,T,P 共线，因此直线 PTPT 与直线 PAPA 相同。由于 B,Y,CB,Y,C 共线且 TY∥ABTY\parallel AB（第2步），∠TYC=∠TYB=∠ABC\angle TYC=\angle TYB=\angle ABC（有向角，因为直线 BCBC 是过 YY 的同一条直线）。由于 ABPCABPC 共圆，且 B,PB,P 相对于弦 ACAC 位于同一弧上，∠ABC=∠APC\angle ABC=\angle APC；又因为 TT 在直线 PAPA 上，∠APC=∠TPC\angle APC=\angle TPC。因此 ∠TYC=∠TPC\angle TYC=\angle TPC，故 T,Y,P,CT,Y,P,C 共圆。用 TX∥ACTX\parallel AC 作对称论证可得 ∠TXB=∠ACB=∠APB=∠TPB\angle TXB=\angle ACB=\angle APB=\angle TPB，所以 T,X,P,BT,X,P,B 也共圆。