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第4题

设三角形 ABCABC 的内心为 II，满足 AB<AC<BCAB<AC<BC。设 XX 是直线 BCBC 上一点（不同于 CC），使得过 XX 且平行于 ACAC 的直线与内切圆相切。类似地，设 YY 是直线 BCBC 上一点（不同于 BB），使得过 YY 且平行于 ABAB 的直线与内切圆相切。直线 AIAI 再次与三角形 ABCABC 的外接圆交于点 PP。设 KK、LL 分别为 ACAC、ABAB 的中点。求证 ∠KIL+∠YPX=180∘\angle KIL+\angle YPX=180^\circ。
第 4/4 步：在T处的角相加以及在X、Y处的补角完成证明
上一步下一步
通俗地说

将角BTC通过P分成两部分，并利用两个圆内接四边形改写每一部分，就得到从外部测量的三角形PXY的两个底角，它们与该三角形在P处的角互补。

∠BTC+∠XPY=180∘  ⟹  ∠KIL+∠YPX=180∘\angle BTC+\angle XPY=180^\circ\implies\angle KIL+\angle YPX=180^\circ
详细分析

使用模 180∘180^\circ 的有向角。由第3步的两个圆内接四边形，得到 ∠CTP=∠CYP\angle CTP=\angle CYP 及 ∠PTB=∠PXB\angle PTB=\angle PXB。由于 B,X,Y,CB,X,Y,C 按此顺序位于同一直线上，把这两个角的第一条射线反向并不改变有向角值，因此作为有向角有 ∠CYP=∠XYP\angle CYP=\angle XYP 与 ∠PXB=∠YXP\angle PXB=\angle YXP。于是利用三角形 PXYPXY 的有向角和，得到 ∠CTB=∠CTP+∠PTB=∠XYP+∠YXP=∠XPY\angle CTB=\angle CTP+\angle PTB=\angle XYP+\angle YXP=\angle XPY（模 180∘180^\circ）。现在选取普通角的代表。AA 到 BCBC 的高为 2Δ/a2\Delta/a，内切半径为 r=Δ/sr=\Delta/s，因为 s>as>a，所以 2Δ/a>2r2\Delta/a>2r；因此 AA 关于 II 的反射点 TT 位于与 AA 相反的 BCBC 一侧。直线 AI 从 AA 经过内部点 II，先穿过 BCBC 再与外接圆相交于第二点，所以 PP 也在这一侧。结合 B<X<Y<CB<X<Y<C，该构型中有向角等式所对应的两个普通角互为补角（TT 处的角朝向整个线段 BCBC，而 PP 处的角截取内部线段 XYXY）。故 ∠BTC+∠XPY=180∘\angle BTC+\angle XPY=180^\circ。最后由第1步的 ∠KIL=∠BTC\angle KIL=\angle BTC 以及 ∠XPY=∠YPX\angle XPY=\angle YPX，所需和为 180∘180^\circ。