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第6题

如果函数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q 对任意 x,y∈Qx,y\in\mathbb Q 都满足 f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y 或 f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y)，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数 cc，使得对任意 aquaesulian 函数 ff，形如 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r)（其中 rr 为某个有理数）的不同有理数至多有 cc 个，并求 cc 的最小可能值。
第 1/5 步：记号与恒成立的情形 x 到 x
上一步下一步
通俗地说

给这个关系命名后，问题的假设就可以理解为"对任意一对，至少有一个方向成立"；而把两个变量取为相同的值，总能平凡地满足这个关系。

x→y:  ⟺  f(x+f(y))=f(x)+yx\to y:\iff f(x+f(y))=f(x)+y
详细分析

记 x→yx\to y 表示 f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y；题目的条件是说对任意 x,yx,y，x→yx\to y 或 y→xy\to x 至少有一个成立。取 y=xy=x 显然给出 x→xx\to x，即对任意 xx 都有 f(x+f(x))=x+f(x)f(x+f(x))=x+f(x)。