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第6题

如果函数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q 对任意 x,y∈Qx,y\in\mathbb Q 都满足 f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y 或 f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y)，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数 cc，使得对任意 aquaesulian 函数 ff，形如 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r)（其中 rr 为某个有理数）的不同有理数至多有 cc 个，并求 cc 的最小可能值。
第 2/5 步：达到两个值的构造
上一步下一步
通俗地说

直接验证可知这个分段线性函数满足 aquaesulian 性质，代入几个具体的有理数就已经得到两个不同的 f(r)+f(-r) 取值，说明答案不可能小于 2。

f(x)=⌊2x⌋−x,f(0)+f(−0)=0, f(13)+f(−13)=1f(x)=\lfloor2x\rfloor-x,\qquad f(0)+f(-0)=0,\ f(\tfrac13)+f(-\tfrac13)=1
详细分析

可以验证函数 f(x)=⌊2x⌋−xf(x)=\lfloor2x\rfloor-x 是 aquaesulian 函数。直接计算得 f(0)+f(−0)=0+0=0f(0)+f(-0)=0+0=0，而 f(1/3)+f(−1/3)=(⌊2/3⌋−1/3)+(⌊−2/3⌋−(−1/3))=(0−1/3)+(−1+1/3)=−1f(1/3)+f(-1/3)=(\lfloor2/3\rfloor-1/3)+(\lfloor-2/3\rfloor-(-1/3))=(0-1/3)+(-1+1/3)=-1；调整代表元后可见形如 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) 的数中出现了两个不同的取值，因此一般情形下至少 22 个值是不可避免的。