第6题

如果函数

f:\mathbb Q\to\mathbb Q

对任意

x,y\in\mathbb Q

都满足

f(x+f(y))=f(x)+y

或

f(f(x)+y)=x+f(y)

，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数

c

，使得对任意 aquaesulian 函数

f

，形如

f(r)+f(-r)

（其中

r

为某个有理数）的不同有理数至多有

c

个，并求

c

的最小可能值。

第 3/5 步：f 是单射

通俗地说

如果两个输入给出相同的输出，那么对它们之间成立的那个方向应用该关系，就会立即迫使两个输入相等，因为所加的额外项恰好就是两个输入之差。

f(a)=f(b)\implies a=b

详细分析

设 $f(a)=f(b)$ ；不妨设 $a\to b$ ，于是 $f(a)+a=f(a+f(a))=f(a+f(b))=f(a)+b$ ，从而 $a=b$ 。因此 $f$ 是单射。