MathLabs

第6题

如果函数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q 对任意 x,y∈Qx,y\in\mathbb Q 都满足 f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y 或 f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y)，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数 cc，使得对任意 aquaesulian 函数 ff，形如 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r)（其中 rr 为某个有理数）的不同有理数至多有 cc 个，并求 cc 的最小可能值。
第 4/5 步：再次应用该性质得到的二分法
上一步下一步
通俗地说

把精心选择的一对代入定义性质中，并利用单射性，就把所有情形恰好分成两种明确的结果：一种确定 f(r) 加 f(-r) 等于零，另一种则用 f(f(s)) 减 s 来表示它。

s→r  ⟹  f(r)+f(−r)=0 or f(f(s))=s+f(r)+f(−r)s\to r\implies f(r)+f(-r)=0\ \text{or}\ f(f(s))=s+f(r)+f(-r)
详细分析

已知 s→rs\to r，把假设应用于 x=s+f(r)x=s+f(r) 与 y=−ry=-r：要么 x→yx\to y 成立，要么 y→xy\to x 成立。利用 s→rs\to r 及 ff 的单射性（第3步）直接计算两边可知，若 x→yx\to y 成立，则 f(r)+f(−r)=0f(r)+f(-r)=0；若 y→xy\to x 成立，则 f(f(s))=s+f(r)+f(−r)f(f(s))=s+f(r)+f(-r)。