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第6题

如果函数 f:Q→Qf:\mathbb Q\to\mathbb Q 对任意 x,y∈Qx,y\in\mathbb Q 都满足 f(x+f(y))=f(x)+yf(x+f(y))=f(x)+y 或 f(f(x)+y)=x+f(y)f(f(x)+y)=x+f(y)，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数 cc，使得对任意 aquaesulian 函数 ff，形如 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r)（其中 rr 为某个有理数）的不同有理数至多有 cc 个，并求 cc 的最小可能值。
第 5/5 步：至多两个非零相容取值相等
上一步下一步
通俗地说

如果两个不同的数都使 f(r) 加 f(-r) 取非零值，那么对它们之间必然成立的方向应用第4步的二分法，就会迫使这两个值相等，因此实际上只可能有一个非零取值，再加上取值 0。

c=2c=2
详细分析

设 a≠ba\ne b 都满足 f(a)+f(−a)≠0f(a)+f(-a)\ne0 且 f(b)+f(−b)≠0f(b)+f(-b)\ne0。由假设，不妨设 a→ba\to b。分别以 s=r=as=r=a（利用第1步的 a→aa\to a）和 s=a,r=bs=a,r=b（利用 a→ba\to b）应用第4步，并根据假设排除 "=0=0" 的分支，两者都给出关于 f(f(a))−af(f(a))-a 的表达式，从而迫使 f(a)+f(−a)=f(b)+f(−b)f(a)+f(-a)=f(b)+f(-b)。因此 f(r)+f(−r)f(r)+f(-r) 的所有非零取值都相等，加上可能的取值 00，一般情形下至多出现 22 个不同的取值；结合第2步的构造，cc 的最小可能值为 c=2c=2。