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第1题

平面上一条直线若不与 xx 轴、yy 轴、以及直线 x+y=0x+y=0 中任何一条平行，则称其为阳光直线。设 n≥3n\ge3 为给定的整数。求所有非负整数 kk，使得平面上存在 nn 条互不相同的直线，同时满足:对所有满足 a+b≤n+1a+b\le n+1 的正整数 aa、bb，点 (a,b)(a,b) 都在这些直线中的至少一条上;并且这 nn 条直线中恰有 kk 条是阳光直线。
第 3/6 步：含长直线的情形:k = 0 或 k = 1
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n=3:{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},  1+2+3=6 pointsn=3:\quad \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)\},\ \ 1+2+3=6\ \text{points}
详细分析

当 n=3n=3 时格点阵恰有上述 66 个点。若 33 条直线中有一条是长直线(覆盖某边上共线的 33 点)，则剩下 33 点必须由另外 22 条直线覆盖。其中一条必然经过剩余 33 点中(至少) 22 点，而经过该阵列两个格点的直线总是平行于三个禁止方向之一，故非阳光;最后一条直线覆盖唯一剩下的点，可选为阳光或非阳光。因此这种情形恰给出 k=0k=0 或 k=1k=1 条阳光直线。