国际数学奥林匹克 · 2025年

试题

第1题平面上一条直线若不与 $x$ 轴、 $y$ 轴、以及直线 $x+y=0$ 中任何一条平行，则称其为阳光直线。设 $n\ge3$ 为给定的整数。求所有非负整数 $k$ ，使得平面上存在 $n$ 条互不相同的直线，同时满足:对所有满足 $a+b\le n+1$ 的正整数 $a$ 、 $b$ ，点 $(a,b)$ 都在这些直线中的至少一条上;并且这 $n$ 条直线中恰有 $k$ 条是阳光直线。解法: 1
第2题设 $\Omega$ 与 $\Gamma$ 是分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心的两个圆，且 $\Omega$ 的半径小于 $\Gamma$ 的半径。设圆 $\Omega$ 与 $\Gamma$ 交于两个不同的点 $A$ 、 $B$ 。直线 $MN$ 与 $\Omega$ 交于点 $C$ ，与 $\Gamma$ 交于点 $D$ ，使得点 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $D$ 依此顺序在该直线上。设 $P$ 为三角形 $ACD$ 的外心。直线 $AP$ 与 $\Omega$ 再次交于 $E\ne A$ 。直线 $AP$ 与 $\Gamma$ 再次交于 $F\ne A$ 。设 $H$ 为三角形 $PMN$ 的垂心。求证:过 $H$ 且平行于 $AP$ 的直线与三角形 $BEF$ 的外接圆相切。解法: 1
第3题设 $\mathbb{N}$ 表示正整数集合。若一个函数 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 对任意正整数 $a$ 和 $b$ ，都有 $f(a)$ 整除 $b^a-f(b)^{f(a)}$ ，则称该函数为 bonza 函数。求最小的实常数 $c$ ，使得对于所有 bonza 函数 $f$ 以及所有正整数 $n$ ，均有 $f(n)\le cn$ 。解法: 1
第4题正整数 $N$ 的真因数是指 $N$ 的正因数中除 $N$ 本身以外的因数。无穷数列 $a_1,a_2,\ldots$ 由正整数组成，其中每一项都至少有三个真因数。对每个 $n\ge1$ ，整数 $a_{n+1}$ 等于 $a_n$ 的最大三个真因数之和。求 $a_1$ 所有可能的值。解法: 1
第5题爱丽丝(Alice)与巴扎(Bazza)在玩 inekoalaty 游戏，这是一个双人游戏，其规则依赖于双方都知道的正实数 $\lambda$ 。在游戏的第 $n$ 轮(从 $n=1$ 开始)会发生以下情况:若 $n$ 为奇数，爱丽丝选取一个非负实数 $x_n$ ，使得 $x_1+x_2+\cdots+x_n\le\lambda n$ ;若 $n$ 为偶数，巴扎选取一个非负实数 $x_n$ ，使得 $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\le n$ 。若某玩家无法选出合适的数 $x_n$ ，游戏结束，另一方获胜。若游戏永远进行下去，则双方都不获胜。所有已选的数对双方都是已知的。求所有使爱丽丝有必胜策略的 $\lambda$ 值，以及所有使巴扎有必胜策略的情形。解法: 1
第6题考虑一个 $2025\times2025$ 的单位正方形网格。玛蒂尔达希望在网格上放置若干矩形瓷砖(大小可以不同)，使得每块瓷砖的每条边都在网格线上，且每个单位正方形至多被一块瓷砖覆盖。求玛蒂尔达需要放置的最少瓷砖数，使得网格的每一行和每一列都恰好有一个单位正方形未被任何瓷砖覆盖。解法: 1