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第1题

平面上一条直线若不与 xx 轴、yy 轴、以及直线 x+y=0x+y=0 中任何一条平行，则称其为阳光直线。设 n≥3n\ge3 为给定的整数。求所有非负整数 kk，使得平面上存在 nn 条互不相同的直线，同时满足:对所有满足 a+b≤n+1a+b\le n+1 的正整数 aa、bb，点 (a,b)(a,b) 都在这些直线中的至少一条上;并且这 nn 条直线中恰有 kk 条是阳光直线。
第 4/6 步：无长直线的情形:必然 k = 3
上一步下一步
no long line ⟹ each of the 3 lines meets exactly 2 of the 6 points\text{no long line}\ \Longrightarrow\ \text{each of the 3 lines meets exactly 2 of the 6 points}
详细分析

若 33 条直线都不是长直线，则每条至多与 66 点中的 22 点相交(除外边外没有直线能通过该阵列 33 个或更多点)，恰好 3×2=63\times2=6，故每条直线必过恰好 22 点，把 66 点配成 33 对。一种可行的配对是 (1,1)(1,1)–(2,2)(2,2)、(3,1)(3,1)–(1,2)(1,2)、(2,1)(2,1)–(1,3)(1,3)，给出直线 y=xy=x、x+2y=5x+2y=5、2x+y=52x+y=5;直接计算可知这三条直线分别恰好经过预定的两点，斜率依次为 1,−12,−21,-\tfrac12,-2，均不等于 00、不为无穷、也不等于 −1-1，故三条都是阳光直线。因此这种情形必然给出 k=3k=3。