第1题

平面上一条直线若不与

x

轴、

y

轴、以及直线

x+y=0

中任何一条平行，则称其为阳光直线。设

n\ge3

为给定的整数。求所有非负整数

k

，使得平面上存在

n

条互不相同的直线，同时满足:对所有满足

a+b\le n+1

的正整数

a

、

b

，点

(a,b)

都在这些直线中的至少一条上;并且这

n

条直线中恰有

k

条是阳光直线。

第 5/6 步：k = 0 与 k = 1 也有具体构造

上一步下一步

k=0:\ a=1,\ b=1,\ a+b=4;\qquad k=1:\ b=1,\ b=2,\ \text{plus one sunny line through }(1,3)

详细分析

对 $k=0$ ，取三条长直线 $a=1$ 、 $b=1$ 、 $a+b=4$ ，它们仅用非阳光直线就覆盖全部 $6$ 点。对 $k=1$ ，取长直线 $b=1$ (覆盖 $(1,1),(2,1),(3,1)$ )、非阳光直线 $b=2$ (覆盖 $(1,2),(2,2)$ )，以及任意一条经过唯一剩余点 $(1,3)$ 的阳光直线;这 $3$ 条直线以恰好一条阳光直线覆盖全部 $6$ 点。连同上面 $k=3$ 的构造， $n=3$ 时 $k=0,1,3$ 均可实现。