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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 1/7 步：直线 MN 是 AB 的垂直平分线
上一步下一步
通俗地说

把整幅图沿连心线作反射，会交换两圆的两个交点，因此 C、D 看 A、B 是对称的。

α:=∠ACD=∠BCD,β:=∠ADC=∠BDC\alpha:=\angle ACD=\angle BCD,\qquad \beta:=\angle ADC=\angle BDC
详细分析

两圆相交的公共弦 ABAB 总是垂直于连心线，且该连心线平分 ABAB;由于 C,DC,D 都在直线 MNMN 上，故二者到 AA、BB 的距离都相等，即 CA=CBCA=CB、DA=DBDA=DB。因此关于 MNMN 的反射固定 C,D,M,NC,D,M,N 并交换 A↔BA\leftrightarrow B，从而把 ∠ACD\angle ACD 变为 ∠BCD\angle BCD，把 ∠ADC\angle ADC 变为 ∠BDC\angle BDC，得到上面两对相等的角;于是 ∠ACB=2α\angle ACB=2\alpha，∠ADB=2β\angle ADB=2\beta。因为 △CAB\triangle CAB 与 △DAB\triangle DAB 是顶角为 2α,2β2\alpha,2\beta 的等腰三角形，其底角为 ∠CAB=∠CBA=90∘−α\angle CAB=\angle CBA=90^\circ-\alpha、∠DAB=∠DBA=90∘−β\angle DAB=\angle DBA=90^\circ-\beta。