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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 2/7 步：外心 P 重复出现同样两个角
上一步下一步
∠PAD=∠CAB=90∘−α,∠PAC=∠BAD=90∘−β\angle PAD=\angle CAB=90^\circ-\alpha,\qquad \angle PAC=\angle BAD=90^\circ-\beta
详细分析

由于 PP 是 △ACD\triangle ACD 的外心，PA=PC=PDPA=PC=PD。在等腰三角形 △PAD\triangle PAD 中，圆心角 ∠APD=2∠ACD=2α\angle APD=2\angle ACD=2\alpha(弧 ADAD 上的圆周角的两倍)，故底角 ∠PAD=∠PDA=90∘−α\angle PAD=\angle PDA=90^\circ-\alpha。在等腰三角形 △PAC\triangle PAC 中，圆心角 ∠APC=2∠ADC=2β\angle APC=2\angle ADC=2\beta，故 ∠PAC=∠PCA=90∘−β\angle PAC=\angle PCA=90^\circ-\beta。与上一步比较，得 ∠PAD=∠CAB\angle PAD=\angle CAB 且 ∠PAC=∠BAD\angle PAC=\angle BAD。