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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 3/7 步：第二个交点 E、F 给出两条平行线
上一步下一步
∠AEC=∠ABC=∠CAB=90∘−α=∠EAD ⟹ CE∥AD,DF∥AC\angle AEC=\angle ABC=\angle CAB=90^\circ-\alpha=\angle EAD\ \Longrightarrow\ CE\parallel AD,\qquad DF\parallel AC
详细分析

在圆 Ω\Omega 中，圆周角 ∠AEC\angle AEC 与 ∠ABC\angle ABC 对着同一段弧 ACAC，故 ∠AEC=∠ABC\angle AEC=\angle ABC;由于 △CAB\triangle CAB 是等腰三角形，此角等于 ∠CAB=90∘−α\angle CAB=90^\circ-\alpha，而根据上一步它又等于 ∠EAD\angle EAD(因为 EE 在射线 APAP 上，故 ∠EAD=∠PAD\angle EAD=\angle PAD)。于是 ∠AEC=∠EAD\angle AEC=\angle EAD 是截线 AEAE 截两直线 CECE 与 ADAD 所得的一对相等内错角，迫使 CE∥ADCE\parallel AD。在圆 Γ\Gamma 中对称地计算(利用 ∠AFD=∠ABD=∠BAD=90∘−β=∠FAC\angle AFD=\angle ABD=\angle BAD=90^\circ-\beta=\angle FAC)可得 DF∥ACDF\parallel AC。