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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 4/7 步：T 是 BEF 外接圆上弧 EF 的中点
上一步下一步
A′:=CE∩DF,T:=circumcentre of △A′EFA':=CE\cap DF,\qquad T:=\text{circumcentre of }\triangle A'EF
详细分析

平行四边形 ACA′DACA'D 给出 A′C∥ADA'C\parallel AD、A′D∥ACA'D\parallel AC，且 F,A′,DF,A',D 共线、E,F,AE,F,A 共线。因此 △A′EF\triangle A'EF 的三个角可明确算出：∠FEA′=∠AEC=∠ABC=∠CAB=90∘−α\angle FEA'=\angle AEC=\angle ABC=\angle CAB=90^\circ-\alpha，∠A′FE=∠DFA=∠DBA=∠BAD=90∘−β\angle A'FE=\angle DFA=\angle DBA=\angle BAD=90^\circ-\beta，以及 ∠EA′F=180∘−(90∘−α)−(90∘−β)=α+β\angle EA'F=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-(90^\circ-\beta)=\alpha+\beta。设其外心为 TT，则 ∠EA′T=90∘−∠A′FE=β=∠A′CD=∠CA′B\angle EA'T=90^\circ-\angle A'FE=\beta=\angle A'CD=\angle CA'B，所以 A′,B,TA',B,T 共线。此外，∠ETF=2∠EA′F=2(α+β)\angle ETF=2\angle EA'F=2(\alpha+\beta)，而 ∠EBF=∠EBA+∠ABF=∠ECA+∠ADF=∠A′CA+∠ADA′=2(α+β)\angle EBF=\angle EBA+\angle ABF=\angle ECA+\angle ADF=\angle A'CA+\angle ADA'=2(\alpha+\beta)。故 B,E,F,TB,E,F,T 共圆。由于 TT 是 △A′EF\triangle A'EF 的外心，TE=TFTE=TF，所以在此圆上 TT 是不含 BB 的弧 EFEF 的中点。弧中点处的切线垂直于半径 OTOT，弦 EFEF 也垂直于 OTOT；因此该切线平行于 EF=APEF=AP。