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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 5/7 步：T 也位于直线 ME 与 NF 上
上一步下一步
F,T,N collinear,E,T,M collinearF,T,N\ \text{collinear},\qquad E,T,M\ \text{collinear}
详细分析

由于 DF∥ACDF\parallel AC，三角形 FEA′FEA' 与 FADFAD 由以 FF 为中心的位似相联系;这个位似把 △FEA′\triangle FEA' 的外心 TT 映为过 F,A,DF,A,D 的圆的圆心，也就是 NN(因为 A,D,F∈ΓA,D,F\in\Gamma，故为 Γ\Gamma 的圆心)。因此 F,T,NF,T,N 共线。由以 EE 为中心的对称位似(利用 CE∥ADCE\parallel AD)，E,T,ME,T,M 也共线。