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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 6/7 步：垂心 H 继承同样两个方向
上一步下一步
MH∥AD,NH∥ACMH\parallel AD,\qquad NH\parallel AC
详细分析

PP(因 PA=PDPA=PD)与 NN(Γ∋A,D\Gamma\ni A,D 的圆心)都在弦 ADAD 的垂直平分线上，故直线 PNPN 恰为该垂直平分线，从而 PN⊥ADPN\perp AD。△PMN\triangle PMN 中从 MM 出发的高 MHMH 按定义垂直于 PNPN，故 MH∥ADMH\parallel AD。同理，PP(因 PA=PCPA=PC)与 MM(Ω∋A,C\Omega\ni A,C 的圆心)都在弦 ACAC 的垂直平分线上，故 PM⊥ACPM\perp AC，而高 NH⊥PMNH\perp PM 给出 NH∥ACNH\parallel AC。