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第2题

设 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 是分别以 MM、NN 为圆心的两个圆，且 Ω\Omega 的半径小于 Γ\Gamma 的半径。设圆 Ω\Omega 与 Γ\Gamma 交于两个不同的点 AA、BB。直线 MNMN 与 Ω\Omega 交于点 CC，与 Γ\Gamma 交于点 DD，使得点 CC、MM、NN、DD 依此顺序在该直线上。设 PP 为三角形 ACDACD 的外心。直线 APAP 与 Ω\Omega 再次交于 E≠AE\ne A。直线 APAP 与 Γ\Gamma 再次交于 F≠AF\ne A。设 HH 为三角形 PMNPMN 的垂心。求证:过 HH 且平行于 APAP 的直线与三角形 BEFBEF 的外接圆相切。
第 7/7 步：H 是 TMN 的内心，由此完成相切的证明
上一步下一步
H=incentre of △TMN ⟹ HT∥AP ⟹ the line through H parallel to AP is tangent to (BEF) at TH=\text{incentre of }\triangle TMN\ \Longrightarrow\ HT\parallel AP\ \Longrightarrow\ \text{the line through }H\text{ parallel to }AP\text{ is tangent to }(BEF)\text{ at }T
详细分析

由于 MH∥ADMH\parallel AD、NH∥ACNH\parallel AC，有 ∠HMN=∠A′DC=∠ADC=β\angle HMN=\angle A'DC=\angle ADC=\beta；又因 E,T,ME,T,M 共线，∠TMN=∠CME=2∠CAE=2β\angle TMN=\angle CME=2\angle CAE=2\beta。故 MHMH 平分 ∠NMT\angle NMT。同理 ∠MNT=2α\angle MNT=2\alpha，且 NHNH 平分 ∠MNT\angle MNT。还需确认它们是内角平分线而非外角平分线。令 △ACD\triangle ACD 取逆时针方向。由于 C,M,N,DC,M,N,D 依次排列，且 C,DC,D 是直线 MNMN 上较远的交点，故 ∠NHM=∠CAD\angle NHM=\angle CAD 为钝角。将直线 MNMN 分别关于两条平分线 MH,NHMH,NH 反射，所得直线交于与 HH 在 MNMN 同侧的 TT；因此 HH 位于 △TMN\triangle TMN 内部，这两条确实是内角平分线。于是 HH 是内心，且 ∠NTH=∠HTM=90∘−(α+β)\angle NTH=\angle HTM=90^\circ-(\alpha+\beta)。在 △ADF\triangle ADF 中，以 NN 为圆心可得 ∠NFA=90∘−∠ADF=90∘−(α+β)\angle NFA=90^\circ-\angle ADF=90^\circ-(\alpha+\beta)（有向角按模 180∘180^\circ 处理）。由于 FA=APFA=AP 且此角等于 ∠NTH\angle NTH，得到 HT∥APHT\parallel AP。第4步已证明 (BEF)(BEF) 在 TT 处的切线平行于 APAP；所以过 HH 且平行于 APAP 的直线经过 TT，正是该切线。