第3题

由上一步 $f(q)\mid q^q$，故若 $f(q)>1$ 则 $f(q)$ 是 $q$ 的幂。此时 $P(q,n)$ 给出 $q\mid f(q)\mid n^q-f(n)^{f(q)}$;由费马小定理 $n^q\equiv n\pmod q$，反复运用费马定理又得 $f(n)^{f(q)}\equiv f(n)\pmod q$(因 $f(q)$ 是 $q$ 的幂)，故对每个 $n$ 都有 $q\mid n-f(n)$。若这对无穷多个素数 $q$ 成立，则对每个 $n$，$n-f(n)$ 都能被任意大的素数整除，从而迫使 $f(n)=n$ 对所有 $n$ 成立，即 $f=\mathrm{id}$。因此除非 $f=\mathrm{id}$，能使 $f(q)>1$ 的素数 $q$ 只有有限多个。