第3题

设 $f\ne\mathrm{id}$，取任意奇素数 $p$;由第1步，$f(p)$ 是 $p$ 的幂，记 $f(p)=p^m$。因使 $f(q)>1$ 的素数 $q$ 只有有限多个，选取比它们都大且满足 $q\not\equiv1\pmod p$ 的素数 $q$(这样的 $q$ 存在，因为躲开单一剩余类 $1\bmod p$ 的素数有无穷多个)，于是 $f(q)=1$。此时 $P(p,q)$ 给出 $f(p)\mid q^p-f(q)^{f(p)}=q^p-1$。若 $m\ge1$，则 $p\mid f(p)\mid q^p-1$，但费马小定理给出 $q^p\equiv q\pmod p$，由 $q$ 的选取知 $q^p-1\equiv q-1\not\equiv0\pmod p$，矛盾。故 $m=0$，即 $f(p)=1$。