第4题

取 $x=12^e\cdot6\ell$，其中 $\gcd(\ell,10)=1$。若 $e>0$，则 $12\mid x$，故大于 $1$ 的 $x$ 的最小三个因数是 $2,3,4$，给出 $\sigma(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}+\tfrac{x}{4}=\tfrac{13}{12}x=12^{e-1}\cdot6(13\ell)$，其形式相同，只是 $e$ 减 $1$ 且 $\ell$ 换成 $13\ell$(仍与 $10$ 互素)。若 $e=0$，则 $x=6\ell$ 且 $\ell$ 与 $10$ 互素，故 $4\nmid x$ 且 $5\nmid x$;大于 $1$ 的 $x$ 的最小三个因数是 $2,3,6$，给出 $\sigma(x)=\tfrac{x}{2}+\tfrac{x}{3}+\tfrac{x}{6}=x$，是一个不动点。对 $e$ 作降归纳，从这样的 $x$ 出发的数列永远留在 $S$ 中，最终变为常数，因此每个满足 $\gcd(\ell,10)=1$ 的 $a_1=12^e\cdot6\ell$ 都可以取到。