设 xxx 为偶数但 3∤x3\nmid x3∤x。大于 111 的最小两个因数是 222 以及 444 或某素数 p≥5p\ge5p≥5，对第三小因数作简短的分类讨论可知，当 3∤x3\nmid x3∤x 时 σ(x)≡0(mod3)\sigma(x)\equiv0\pmod3σ(x)≡0(mod3) 绝不会发生;结合大小估计 σ(x)≤(12+14+15)x<x\sigma(x)\le\bigl(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac15\bigr)x<xσ(x)≤(21+41+51)x<x，若某个 aia_iai 为偶数但非 333 的倍数，数列将再次一直严格递减，这是不可能的。因此每个 aia_iai 都能被 222 和 333 整除，即被 666 整除。