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第4题

正整数 NN 的真因数是指 NN 的正因数中除 NN 本身以外的因数。无穷数列 a1,a2,…a_1,a_2,\ldots 由正整数组成，其中每一项都至少有三个真因数。对每个 n≥1n\ge1，整数 an+1a_{n+1} 等于 ana_n 的最大三个真因数之和。求 a1a_1 所有可能的值。
第 5/8 步：6 的倍数的三个公式
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6∣x:σ(x)=1312x (4∣x),σ(x)=3130x (4∤x, 5∣x),σ(x)=x (4∤x, 5∤x)6\mid x:\quad \sigma(x)=\tfrac{13}{12}x\ (4\mid x),\qquad \sigma(x)=\tfrac{31}{30}x\ (4\nmid x,\,5\mid x),\qquad \sigma(x)=x\ (4\nmid x,\,5\nmid x)
详细分析

现在每一项都满足 6∣x6\mid x，故 2,3,62,3,6 总是因数;大于 11 的最小三个因数取决于 44 或 55 是否也整除 xx。若 4∣x4\mid x，它们是 2,3,42,3,4，给出 σ(x)=x2+x3+x4=1312x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}4=\tfrac{13}{12}x。若 4∤x4\nmid x 但 5∣x5\mid x，它们是 2,3,52,3,5，给出 σ(x)=x2+x3+x5=3130x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}5=\tfrac{31}{30}x。若 4∤x4\nmid x 且 5∤x5\nmid x，它们是 2,3,62,3,6，给出 σ(x)=x2+x3+x6=x\sigma(x)=\tfrac{x}2+\tfrac{x}3+\tfrac{x}6=x。